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苹果手机上购买的软件的退款申请可以通过以下步骤进行。
1、打开苹果手机，找到并点击“设置”。
2、进入设置页面之后，找到并点击iTunes Store与App Store选项。
3、进入iTunes Store与App Store页面之后，点击顶部Apple ID，并在弹出的提示框中选择查看Apple ID。
4、在账户设置的页面中找到购买记录，并点击它。
5、在购买记录的页面中找到需要退款的应用或软件项目，点击它。
6、进入一个新的页面之后，选择报告问题选项。
7、在报告问题的页面中，选择想要退款的理由，或者选择其他的问题反馈类型，如果软件存在缺陷或者无法正常使用等，可以选择相应的类别并详细描述问题，然后提交问题报告。
8、提交问题报告后，等待苹果工作人员的审核和回复，如果审核通过，将会收到退款通知，如果审核不通过，可能需要重新提交或者提供更多信息，具体的退款时间和方式可能会因情况而异。
退款申请的具体流程可能因不同的应用或软件而有所不同，退款申请必须在购买后的特定时间内提出，一般为数天至数周不等，建议在购买软件后尽快了解退款政策并提出申请。